Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · не подходит
Не ответить на письмо – значит обидеть человека.
НЕ с глаголами«Ответить» — инфинитив. Отрицание «не ответить на письмо» пишется раздельно, хотя всё сочетание в предложении обозначает поступок.
Здесь пишем «не ответить» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 1 не подходит.
Вариант 2 · не подходит
Лучи осеннего солнца, ещё не закрытого надвигающимися тучами, светили по-особенному тепло.
НЕ с полными причастиями и зависимыми словамиСолнце не закрыто чем? Надвигающимися тучами. Этот зависимый оборот и слово «ещё» требуют раздельного написания полного причастия.
Здесь пишем «не закрытого» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · не подходит
Коллективное управление давалось отнюдь не легко.
Усиленное отрицаниеНаречие «легко» входит в сочетание «отнюдь не легко». Здесь подчёркнуто отрицается лёгкость управления; возможность подобрать слово «трудно» не отменяет усилитель отрицания.
Здесь пишем «не легко» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 3 не подходит.
Вариант 4 · не подходит
Не осознавая своего предназначения, герои пьес А.П. Чехова часто проживают свой век бессмысленно.
НЕ с деепричастиями«Осознавая» отвечает на вопрос «что делая?» и обозначает добавочное действие героев. Наличие дополнения «своего предназначения» не является главным основанием: НЕ с таким деепричастием и без дополнения пишется отдельно.
Здесь пишем «не осознавая» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 4 не подходит.
Вариант 5 · подходит
Кому нечего сказать, тому лучше молчать.
НЕ в отрицательных местоимениях и наречиях«Нечего» — отрицательное местоимение со значением «нет того, что можно сказать». Предлога между НЕ и местоименной частью нет, поэтому это одно слово.
Здесь пишем «нечего» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 5 подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «не ответить», раздельно; 2 — «не закрытого», раздельно; 3 — «не легко», раздельно; 4 — «не осознавая», раздельно; 5 — «нечего», слитно. Только в предложении 5 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: нечего.
Ответ:нечего
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ