Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · не подходит
В стороне от деревни пролегала не укатанная рабочими просёлочная дорога.
НЕ с полными причастиями и зависимыми словамиДорога не укатана кем? Рабочими. Слово «рабочими» зависит от причастия «укатанная» и называет исполнителя действия.
Здесь пишем «не укатанная» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 1 не подходит.
Вариант 2 · не подходит
Александр никогда не увлекался видами спорта, требующими применения большой физической силы.
НЕ с глаголами«Увлекался» — глагол прошедшего времени. Слово «никогда» усиливает отрицание, но не меняет раздельного написания «не увлекался».
Здесь пишем «не увлекался» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · не подходит
Недолгое знакомство нисколько не мешало нам разговаривать по-дружески.
НЕ с глаголами«Мешало» — глагол прошедшего времени. «Нисколько» усиливает отрицание перед ним, но само НЕ к глаголу не присоединяется.
Здесь пишем «не мешало» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 3 не подходит.
Вариант 4 · подходит
Весь день звенит несмолкаемый пчелиный хор, а ночью слышится соловьиное пение.
Слова с закреплённым слитным написанием«Несмолкаемый» — прилагательное со значением «непрерывный, непрекращающийся». Оно не обозначает действие, которое кто-то совершает над пчелиным хором; слово «смолкаемый» самостоятельно не употребляется.
Здесь пишем «несмолкаемый» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 4 подходит.
Вариант 5 · не подходит
На мокрую землю падали далеко не мелкие капли дождя.
Усиленное отрицание«Далеко не мелкие» означает «совсем не мелкие». Это усиление отрицания размера капель, поэтому НЕ остаётся отдельной частицей.
Здесь пишем «не мелкие» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 5 не подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «не укатанная», раздельно; 2 — «не увлекался», раздельно; 3 — «не мешало», раздельно; 4 — «несмолкаемый», слитно; 5 — «не мелкие», раздельно. Только в предложении 4 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: несмолкаемый.
Ответ:несмолкаемый
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ