Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · не подходит
В этом фрагменте слышится не обыкновенная мелодия, а полный трагизма финал.
Противопоставление с отрицаниемЗдесь построено противопоставление «не обыкновенная мелодия, а полный трагизма финал». НЕ отрицает первую характеристику звучащего фрагмента.
Здесь пишем «не обыкновенная» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 1 не подходит.
Вариант 2 · не подходит
Месяца на небе не было, а звёзды ярко светились.
НЕ с глаголами«Было» — форма глагола «быть». Отрицается наличие месяца на небе; союза А между частями предложения недостаточно для какого-либо особого правила.
Здесь пишем «не было» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · подходит
Необычайно тихо было в горах и на безбрежных пляжах у моря.
НЕ с наречиями и словами состояния«Необычайно» означает «чрезвычайно, очень» и усиливает наречие «тихо». Это цельное наречие, а не отрицание обычного образа действия.
Здесь пишем «необычайно» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 3 подходит.
Вариант 4 · не подходит
Недолгое знакомство нисколько не мешало нам разговаривать по-дружески.
НЕ с глаголами«Мешало» — глагол прошедшего времени. «Нисколько» усиливает отрицание перед ним, но само НЕ к глаголу не присоединяется.
Здесь пишем «не мешало» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 4 не подходит.
Вариант 5 · не подходит
Некоторые слова в тексте были написаны не по-русски.
Наречия и сочетания с раздельным НЕ/НИ«По-русски» — наречие с дефисным написанием. НЕ перед ним пишется отдельно: отрицается, что слова написаны по-русски.
Здесь пишем «не по-русски» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 5 не подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «не обыкновенная», раздельно; 2 — «не было», раздельно; 3 — «необычайно», слитно; 4 — «не мешало», раздельно; 5 — «не по-русски», раздельно. Только в предложении 3 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: необычайно.
Ответ:необычайно
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ