Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · не подходит
Мотивы поступка главного героя романа отнюдь не благородны.
Усиленное отрицаниеСочетание «отнюдь не» усиливает отрицание благородства мотивов. Краткая форма «благородны» не отменяет этого условия.
Здесь пишем «не благородны» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 1 не подходит.
Вариант 2 · не подходит
Не красна книга письмом, а красна умом.
Противопоставление с отрицаниемВ пословице прямо сопоставлены основания оценки книги: «не красна письмом, а красна умом». Отрицание перед кратким прилагательным остаётся самостоятельным.
Здесь пишем «не красна» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · не подходит
Не осознавая своего предназначения, герои пьес А.П. Чехова часто проживают свой век бессмысленно.
НЕ с деепричастиями«Осознавая» отвечает на вопрос «что делая?» и обозначает добавочное действие героев. Наличие дополнения «своего предназначения» не является главным основанием: НЕ с таким деепричастием и без дополнения пишется отдельно.
Здесь пишем «не осознавая» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 3 не подходит.
Вариант 4 · подходит
Незачем думать о том, чего нельзя исправить или вернуть.
НЕ в отрицательных местоимениях и наречиях«Незачем» означает «нет причины, нет смысла». Это отрицательное местоименное наречие; «за» здесь не отдельный предлог, а часть цельного слова.
Здесь пишем «незачем» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 4 подходит.
Вариант 5 · не подходит
Не знаю, сколько километров нам предстоит пройти.
НЕ с глаголами«Знаю» — личная форма глагола «знать». Отрицается знание расстояния, поэтому пишем «не знаю».
Здесь пишем «не знаю» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 5 не подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «не благородны», раздельно; 2 — «не красна», раздельно; 3 — «не осознавая», раздельно; 4 — «незачем», слитно; 5 — «не знаю», раздельно. Только в предложении 4 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: незачем.
Ответ:незачем
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ