Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · подходит
Люди они были хоть и неимущие, но образованные.
Слова с закреплённым слитным написанием«Неимущие» — прилагательное со значением «бедные, не имеющие имущества». Сочетание «хоть и…, но…» допускает оба признака: люди бедные и одновременно образованные; один признак не отрицает другой.
Здесь пишем «неимущие» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 1 подходит.
Вариант 2 · не подходит
Невозможно овладеть высшей математикой, не зная элементарных математических понятий.
НЕ с деепричастиями«Зная» — деепричастие от «знать». Отрицается добавочное действие: нельзя овладеть высшей математикой и при этом не знать элементарных понятий.
Здесь пишем «не зная» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · не подходит
Не раскрывшийся ещё розовый бутон притягивал взгляд.
НЕ с полными причастиями и зависимыми словами«Ещё» относится к «раскрывшийся» и передаёт смысл «пока не раскрылся». Слово «розовый» характеризует бутон и не заменяет этого зависимого слова.
Здесь пишем «не раскрывшийся» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 3 не подходит.
Вариант 4 · не подходит
Как только я передвинул поплавок, он быстро поплыл в сторону не качаясь.
НЕ с деепричастиями«Качаясь» обозначает добавочное действие поплавка. Он поплыл, при этом не качался; НЕ пишем отдельно от деепричастия.
Здесь пишем «не качаясь» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 4 не подходит.
Вариант 5 · не подходит
Недолгое знакомство нисколько не мешало нам разговаривать по-дружески.
НЕ с глаголами«Мешало» — глагол прошедшего времени. «Нисколько» усиливает отрицание перед ним, но само НЕ к глаголу не присоединяется.
Здесь пишем «не мешало» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 5 не подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «неимущие», слитно; 2 — «не зная», раздельно; 3 — «не раскрывшийся», раздельно; 4 — «не качаясь», раздельно; 5 — «не мешало», раздельно. Только в предложении 1 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: неимущие.
Ответ:неимущие
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ