Разберём условие и последовательно проверим все варианты.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
Нужно найти одно предложение, где НЕ пишется слитно с выделенным словом, и выписать это слово. Работаем только с фрагментами в скобках; остальные НЕ и НИ в предложениях не меняем.
Шаг 2. Разберём все пять вариантов
Вариант 1 · не подходит
В этом году были не прекращавшиеся всё лето дожди.
НЕ с полными причастиями и зависимыми словами«Всё лето» — зависимое сочетание времени при «прекращавшиеся». Дожди не прекращались в течение всего лета, поэтому НЕ с причастием раздельно.
Здесь пишем «не прекращавшиеся» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 1 не подходит.
Вариант 2 · не подходит
Не осознавая своего предназначения, герои пьес А.П. Чехова часто проживают свой век бессмысленно.
НЕ с деепричастиями«Осознавая» отвечает на вопрос «что делая?» и обозначает добавочное действие героев. Наличие дополнения «своего предназначения» не является главным основанием: НЕ с таким деепричастием и без дополнения пишется отдельно.
Здесь пишем «не осознавая» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 2 не подходит.
Вариант 3 · подходит
Невольно вспоминается реплика одного из шекспировских героев: «Не звёзды, милый Брут, а сами мы виновны».
НЕ с наречиями и словами состояния«Невольно» означает «непроизвольно»: реплика вспоминается сама собой. Отрицания свободы действий или противопоставления в этом контексте нет.
Здесь пишем «невольно» слитно. Это требуемое слитное написание: вариант 3 подходит.
Вариант 4 · не подходит
Далеко не приветливо встретил нас хозяин дома в тайге.
Усиленное отрицание«Далеко не приветливо» подчёркивает отсутствие приветливости. Усиленное отрицание требует раздельного написания наречия на -о с НЕ.
Здесь пишем «не приветливо» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 4 не подходит.
Вариант 5 · не подходит
В комнате темно, так как лампы ещё не зажжены.
НЕ с краткими причастиями«Зажжены» — краткое страдательное причастие. Лампы пока не зажгли; «ещё» уточняет время, а основное правило — НЕ с кратким причастием раздельно.
Здесь пишем «не зажжены» раздельно. Требуется писать слитно, поэтому вариант 5 не подходит.
Шаг 3. Проверим и запишем ответ
Сверим все варианты: 1 — «не прекращавшиеся», раздельно; 2 — «не осознавая», раздельно; 3 — «невольно», слитно; 4 — «не приветливо», раздельно; 5 — «не зажжены», раздельно. Только в предложении 3 выполнено условие слитного написания. Выписываем слово вместе с НЕ и сохраняем его форму: невольно.
Ответ:невольно
ФИПИ: навигатор по орфографииГрамота: правописание НЕ и НИ