Ответ: бодрствует.
Требуемая форма: настоящее время, третье лицо единственного числа.
1. Определяем форму по предложению
Подлежащее «другая половина» единственного числа. Первое сказуемое «отдыхает» задаёт настоящее время, и второе тоже описывает постоянную особенность сна дельфина.
2. Образуем нормативную форму
«Бодрствовать» — глагол I спряжения. Нужная личная форма — «бодрствует»: основа бодрству- и окончание -ет, без сохранения -ова- инфинитива.
3. Проверяем возможную ошибку
Не образуйте «бодрствовает», присоединяя окончание к полной основе инфинитива. Не выбирайте множественное число: сказуемое относится к одной половине мозга.
Во время сна у дельфина отдыхает только половина мозга: другая половина бодрствует.
Разбор подготовлен редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.