Ответ: гуляний.
Требуемая форма: родительный падеж множественного числа.
1. Определяем форму по предложению
От слова «звуки» ставим вопрос «чего?». Сочетание «народных ...» требует родительного падежа множественного числа.
2. Образуем нормативную форму
«Гулянья» — множественная форма слова «гулянье», варианта слова «гуляние». Родительный множественного числа — «гуляний», с -ий на конце.
3. Проверяем возможную ошибку
Не сохраняйте Ь и не добавляйте -ев в форме «гуляньев». В литературной форме данного сочетания пишется «народных гуляний».
Мне памятны звуки народных гуляний на улицах старой Москвы.
Разбор подготовлен редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.