Ответ: хлещут.
Требуемая форма: настоящее время, третье лицо множественного числа.
1. Определяем форму по предложению
Подлежащее «ветви» обозначает несколько предметов. Соседнее сказуемое «оставляют» стоит в настоящем времени; восстанавливаем однородное сказуемое в той же форме.
2. Образуем нормативную форму
В личных формах «хлестать» происходит чередование СТ/Щ: хлестать — хлещу — хлещут. Для третьего лица множественного числа I спряжения нужно окончание -ут.
3. Проверяем возможную ошибку
Не добавляйте -ют к полной основе инфинитива: «хлестают» не подходит. Нельзя также писать «хлещат», перенося окончания II спряжения.
Я смотрю, как мокрые от дождя ветви деревьев хлещут по стёклам окон и оставляют на них следы.
Разбор подготовлен редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.