Решите неравенство ${\log }_3(\frac{1}{x}+2)-{\log }_3(x+5)\ge {\log }_3(\frac{x+4}{x^2})$.

Пример решения № 1

Запишем ограничения логарифмов. Получаем область допустимых значений: x∈(−4;−1/2)∪(0;+∞).

На области допустимых значений объединим логарифмы и, поскольку основание 3 больше 1, сравним их аргументы: (1+2x)/(x(x+5))≥(x+4)/x^2.

Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю: ((x+2)(x−10))/(x^2(x+5))≥0.

Решаем рациональное неравенство методом интервалов и пересекаем результат с областью допустимых значений.

Итог: x∈(−4;−2]∪[10;+∞).

Ответ: x∈(−4;−2]∪[10;+∞)