Задание 32 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 70530E
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдём ОДЗ:
({6− x > 0 (x2− 12x+ 36> 0 ({ 6− x > 0 ((x− 6)2 > 0 ({ x < 6 (x ⁄= 6 x < 6
Решим неравенство на ОДЗ:
x2log4(6− x)− 2log |x− 6|≤0 5 5
Преобразуем неравенство с учетом условия x− 6< 0 :
x2 log (6 − x) − 2 log (6 − x)≤ 0 4 ( 5 ) 5 x2− 2 log(6− x)≤ 0 4 5 (x2− 8)log5(6 − x) ≤0
Применив метод рационализации для логарифма, получим:
(x2− 8)(5 − 1)(6− x− 1)≤ 0 4(x2− 8)(5− x)≤ 0 ( √-)( √-) 4 x− 8 x+ 8 (5− x)≤ 0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
√√ - x−25+−+−22 2
Получаем [ √- √-] x ∈ − 2 2;2 2 ∪ [5;+∞ )
Тогда, учитывая ОДЗ, ответом будет [ √ - √ -] x ∈ −2 2;2 2 ∪[5;6).
Ответ: [ √ - √ -] −2 2;2 2 ∪[5;6)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932