Решите неравенство $\frac{{\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)}{{\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1}\ge 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем знаменатель:

log2x2 +log x4+ 1= log2x2+ 2log x2+ 1= 2 2 2 2 = (log2x2)2+ 2⋅(log2x2)⋅1+ 12 = (log2x2+ 1)2.

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

log2(2−-x)− log2(x-+1) (log2x2+ 1)2 ≥0.

Найдем ОДЗ:

( ||2 − x > 0 |{x + 1> 0 ||x2 > 0 |(log2x2+ 1⁄= 0 ( |||{x < 2 x > −1 |||x ⁄= 0 (x2 ⁄= 2− 1 (x < 2 ||||| {x > −1 |||x ⁄= 0√ - ||(x ⁄= ±--2 2

Таким образом,

( √ -) ( √- ) ( √-) ( √- ) x ∈ −1;−--2 ∪ − -2;0 ∪ 0;-2- ∪ -2-;2 . 2 2 2 2

Преобразуем неравенство:

log2(22−2x)−-log24(x-+-1)-≥ 0 log2x +(log2x) +1 2-− x log2-x-+1-- (log2x2 +1)2 ≥0

Заметим, что на ОДЗ ( 2 )2 log2 x + 1 > 0, поэтому полученное неравенство равносильно неравенству

( ) log 2-− x ≥ 0 2 x +1 (2− x) log2 x-+1- ≥ log220 2−-x≥ 1 x+ 1 2-− x-−-x−-1≥ 0 x+ 1 1−-2x x+ 1 ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x−−+−121

Получим:

( ] x ∈ −1; 1 2

Пересечем полученные значения x с ОДЗ и получим

( √-) ( √ - ) ( ] x∈ −1;− -2- ∪ −--2;0 ∪ 0; 1 . 2 2 2

Пример решения № 2

Запишем ограничения: \begin{cases} Преобразуем знаменатель: \log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = \log_2^2 x^2 + 2\log_2 x^2 + 1 = (\log_2 x^2 + 1)^2 \geqslant 0. Найдём нули знаменателя: (\log_2 x^2 + 1)^2 = 0; \log_2 x^2 = \log_{2}\dfrac{1}{2}; x^2 = \dfrac{1}{2}; x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Тогда наше неравенство равносильно следующей системе: \begin{cases} Воспользуемся методом рационализации для решения неравенства. Получаем равносильную систему: \begin{cases} \begin{cases} Получаем окончательный ответ: \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right] . Ответ: \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right] .

Ответ: ( √2-) ( √2- ) ( 1] −1;− 2 ∪ − 2 ;0 ∪ 0;2