Задание 6 из 63Показательные неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 160E7E
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Сделаем замену 3x = t, t> 0. Перенесем все в одну сторону и приведем дроби к общему знаменателю:
-13-- -1-- t− 81 ≤ t− 9 --13--− --1- ≤ 0 t− 81 t− 9 13-⋅(t−-9)−-1⋅(t-− 81) (t− 81)(t− 9) ≤ 0 13t−-117−-t+-81≤ 0 (t− 81)(t− 9) t− 3 (t− 81)(t−-9) ≤ 0
По методу интервалов при t> 0 :
t0398−+−+1
Итого: t∈ (0;3]∪(9;81)
Сделаем обратную замену:
[ 0< t≤ 3 9< t< 81 [ x 0<2 3 ≤x 3 4 [3 < 3 < 3 x≤ 1 2< x< 4
Таким образом, решением является: x ∈(−∞; 1]∪(2;4).
Ответ: (−∞; 1]∪(2;4)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Показательные неравенстваРешите неравенство (11)−6−≤…FIPI ID 259766Показательные неравенстваРешите неравенство ((8)^(x+)−9⋅(4)^(x+)+13⋅(2)−13)/((4)^(x+)−9⋅(2)^…FIPI ID 3416BFПоказательные неравенстваРешите неравенство ≥FIPI ID 483E44Показательные неравенстваРешите неравенство ≤0.FIPI ID 4F4FA2Показательные неравенстваРешите неравенство ≥0.FIPI ID 62020BПоказательные неравенстваРешите неравенство 12−8−2⋅6+3⋅4+32⋅3−2≤0.FIPI ID 66CF9D