Решите неравенство $1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3(27x^6)+12}\ge 0$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Преобразуем знаменатель второй дроби:

2 ( 6) log3x − log327x + 12= = log23x− log327 − log3x6+ 12= 2 = log3x − 6log3|x|+ 9

Так как x >0, то получим:

2 log3 x− 6log3|x|+9 = = log2x− 6log x+ 9= (log x− 3)2 3 3 3

Сделаем замену t =log3x и приведем дроби к общему знаменателю:

-6-- ---5-- 1+ t− 3 + (t− 3)2 ≥ 0 (t− 3)2+-6(t−-3)-+5-≥ 0 (t− 3)2 2 t-−-6t+9-+6t−2-18+-5 ≥0 (t− 3) t2− 4 (t−-3)2 ≥ 0 (t−-2)(t+-2)≥ 0 (t− 3)2

По методу интервалов:

−32t++−+ 2

Сделаем обратную замену и учтём, что x> 0:

( ||| x >0 |||| ⌊ |{ |log3x≤ −2 || ||2 ≤log x< 3 ||||| |⌈ 3 |( log3x> 3 ( |||| x⌊ >0 ||||{ log x≤ log 1 || 3 39 |||| ||log39≤ log3x < log327 |||| |⌈ ( log3x> log327 (| |||| x⌊ >0 |||{ |x ≤ 1 || 9 ||||| ||9 ≤x < 27 |||( ⌈ x > 27

1 092x97

Итого: ( 1] x∈ 0;9 ∪[9;27)∪ (27;+∞ ).

Ответ: ( ] 0; 1 ∪ [9;27)∪(27;+∞ ) 9