Решите неравенство $\frac{{\log }_{8}x}{{\log }_8(\frac{x}{64})}\ge \frac{2}{{\log }_{8}x}+\frac{3}{{\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2}$.

Пример решения № 1

Запишем ограничения логарифмов:

x> 0.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

-log8x-- --2-- -----3------ log (-x) ≥ log8x + log28x − log8x2 8 64 ----log8x---- ≥ -2---+ --2--3------. log8 x− log864 log8x log8x− 2log8x

Введем замену t =log x, 8 тогда неравенство будет выглядеть так:

-t--≥ 2 + --3--- t− 2 t t2− 2t -t--− 2 − --3---≥ 0 t−22 t t(t− 2) t-−-2(t−-2)−-3 ≥0 t(t− 2) t2−-2t+-1≥ 0 t(t− 2) (t−-1)2 t(t− 2) ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t012+−−+

Отсюда получаем:

t∈ (−∞;0)∪ {1}∪ (2;+∞ ).

Вернемся к x:

⌊ log8x < 0 |⌈log8x = 1 log8x > 2 ⌊ |0< x <1 ⌈x= 8 x> 64

Таким образом, с учётом ограничений получаем:

x∈ (0;1)∪ {8} ∪(64;+ ∞ ).

Ответ: (0;1) ∪{8}∪ (64;+∞ )