Решите неравенство ${\log }_7(2x^2+12)-{\log }_7(x^2-x+12)\ge {\log }_7(2-\frac{1}{x})$.

Пример решения № 1

Найдём ОДЗ:

( 2x2+ 12> 0 ||{ | x2− x+ 12> 0 |( 2− 1 > 0 ( 2 x ||{ x > − 6 x2− x+ 12> 0 ||( 2x-− 1 > 0 x

Рассмотрим уравнение x2− x+ 12= 0. Найдём дискриминант:

2 D = 1 − 4⋅1⋅12 =1 − 48 = −47< 0

Так как дискриминант меньше нуля, а коэффициент при x2 больше 0, то неравенство x2+x + 12> 0 верно при любом x.

Решим неравенство 2x-−-1> 0 x методом интервалов:

x01+−+ 2

Получим ОДЗ:

( ) x ∈(−∞; 0)∪ 1;+∞ . 2

Воспользуемся формулой a logca− logcb =logcb :

( 2 ) ( ) log7 -2x-+-12- ≥ log7 2 − 1 x2− x+ 12 x 2x2 +12 1 x2-− x-+12 ≥ 2− x 2 -22x-+-12-+ 1 − 2≥ 0 ( ) x −( x+ 12 x) ( ) -x⋅-2x2+-12--- --x2−-x+-12-- 2x⋅-x2−-x+-12- x⋅(x2− x+ 12) + x⋅(x2− x+ 12) − x ⋅(x2 − x +12) ≥ 0 ( 2 ) ( 2 ) (2 ) x-⋅2x-+-12-+--x-−2x+-12-− 2x-⋅x-− x-+12 ≥ 0 x ⋅(x − x +12) (2x3+-12x)+-(x2−-x+-12)−-(2x3−-2x2+-24x)- x ⋅(x2− x +12) ≥ 0 2 -3x-−2-13x-+-12- ≥0 x ⋅(x − x +12) (3x−-4)⋅(x-− 3) x ⋅(x2− x +12) ≥ 0

Так как 2 x − x+ 12> 0 при всех x, неравенство равносильно

(3x-−-4)-⋅(x−-3) ≥0. x

Решим полученное неравенство методом интервалов:

4 033x+−+−

Пересечем полученные значения x с ОДЗ:

0143x 23

Получим:

( ] x∈ 1; 4 ∪[3;+ ∞ ). 2 3

Ответ: ( ] 1; 4 ∪ [3;+∞ ) 2 3