Решите неравенство $2{\log }_2(x\sqrt{5})-{\log }_2(\frac{x}{1-x})\le {\log }_2(5x^2+\frac{1}{x}-2)$.

Пример решения № 1

Запишем ОДЗ:

( x> 0 |||{ x 1−-x-> 0 |||( 2 1 5x + x − 2> 0

Решим второе неравенство из ОДЗ методом интервалов:

x01−+−

Получим:

x ∈ (0;1).

Заметим, что полученный интервал удовлетворяет и первому неравенству из ОДЗ.

Преобразуем исходное неравенство:

( 2 ) ( ) log2 5x-⋅(1−-x) ≤ log2 5x2+ 1 − 2 x x 2 1 5x(1 − x)≤ 5x + x − 2

Так как x ∈(0;1) , то левая часть всегда положительна, а значит, 2 1 5x + x − 2> 0 . Тогда все условия ОДЗ выполнены.

2 3 3 5x − 5x − 5x +2x − 1 ≤ 0 (2x − 1)(1− 5x2)≤ 0 ( (√- )2) (2x− 1) 12− 5x ≤ 0 ( √ - )( √ -) (2x − 1) 1 − 5x 1+ 5x ≤ 0

По методу интервалов:

√ √- 1-55- x−2−+−+55

По ОДЗ x ∈(0;1). Пересечем полученные значения x с ОДЗ:

√ √- x−011-55- 255

Итого:

( √5] [1 ) x ∈ 0;5--∪ 2;1 .

Пример решения № 2

Запишем область допустимых значений: \begin{cases} Сделаем преобразования: 2\log_2(x\sqrt{5}) = \log_2(x\sqrt{5})^2 = \log_2(5x^2); \log_2(5x^2) - \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2}{\dfrac{x}{1-x}}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right). Неравенство принимает вид: \log_2\left(\frac{5x^2(1-x)}{x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \frac{1}{x} - 2\right). Воспользуемся методом рационализации. Так как 2 > 1 , то исходное неравенство равносильно следующей системе: \begin{cases} Заметим, что \dfrac{5x^2(1-x)}{x} > 0 при x \in (0; 1) . Поэтому последнее неравенство системы выполнено, если выполнены первые два. Получаем: \begin{cases} Решим первое неравенство системы: \frac{5x^2 - 5x^3 - 5x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0; \frac{5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x}{x} \leqslant 0. Разложим числитель на множители: 5x^2 - 10x^3 - 1 + 2x = 5x^2 \cdot (1 - 2x) - (1 - 2x) = (1 - 2x)(5x^2 - 1) = = 10 \cdot \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x - \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \frac{1}{\sqrt{5}}\right). Получаем: \dfrac{10\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)}{x} \leqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 2

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ: x\in \left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right) . Изображение 1

Ответ: \left(0;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2};1\right) .

Ответ: ( √ -] [ ) 0;--5 ∪ 1;1 5 2