Решите неравенство ${\log }_{11}(8x^2+7)-{\log }_{11}(x^2+x+1)\ge {\log }_{11}(\frac{x}{x+5}+7)$.

Пример решения № 1

Найдём ОДЗ:

(|8x2 +7 > 0 |{x2 +x + 1> 0 || x ( x+-5 + 7 >0 ( 7 ||||{x2 > −8 x2 +x + 1> 0 ||| 8x+ 35 |( -x+-5-> 0

Рассмотрим уравнение x2+ x+ 1= 0. Найдём дискриминант:

D = 12 − 4 ⋅1⋅1= 1− 4= − 3< 0

Так как дискриминант меньше нуля, а коэффициент при x2 больше 0, то неравенство 2 x +x + 1> 0 верно при любом x.

Решим неравенство 8x + 35 x-+-5-> 0 методом интервалов:

35 x−−+−+58-

Получим ОДЗ:

( ) x ∈ (− ∞;− 5)∪ − 35;+∞ . 8

Воспользуемся формулой a logca− logcb =logcb :

( 8x2+ 7 ) ( x ) log11 x2+-x+-1 ≥ log11 x-+-5 + 7 -8x2+-7- ≥ --x--+7 x2+ x +1 x+ 5 8x2+ 7 x x2+-x+-1 − x-+5-− 7≥ 0 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) --8x-+-7-⋅(x+-5)-− --x⋅-x-+-x+-1---− 7-(x-+5)⋅-x-+-x+-1- ≥0 (x+ 5)⋅(x2+ x+ 1) (x+ 5)⋅(x2+ x +1) (x+ 5)⋅(x2+ x+ 1) (8x2 +7)⋅(x+ 5)− x⋅(x2+ x+ 1)− 7(x+ 5)⋅(x2+ x+ 1) ----------------(x-+5)⋅(x2+-x+-1)----------------≥ 0 ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) -8x--+40x-+-7x+-35-−--x-+-x-+-x-−-7x-+-42x-+-42x+-35-≥ 0 (x +5)⋅(x2+ x+ 1) −3x2 − 36x (x-+5)⋅(x2+-x+-1) ≥ 0 ---x⋅(3x+-36)---≤ 0 (x +5)⋅(x2+ x+ 1) ---x-⋅(x-+12)----- (x +5)⋅(x2+ x+ 1) ≤ 0

Так как x2+ x+ 1 >0 при всех x, неравенство равносильно

x⋅(x+-12)≤ 0. x +5

Решим полученное неравенство методом интервалов:

−−0x+−+−152

Пересечем полученные значения x с ОДЗ:

35 −−−0x1528

Получим:

( 35 ] x ∈ (− ∞;−12]∪ − 8-;0 .

Ответ: ( ] (−∞; −12]∪ − 385 ;0