Решите неравенство $\frac{2{\log }_3(9x)-13}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^4}\le 1$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Воспользуемся свойствами логарифма:

log(9x)= log 9 +log x= 2+ log x. 3 3 3 3

Учтём ограничение x > 0 и преобразуем log3x4 :

4 log3x =4 log3|x|= 4 log3x.

Сделаем замену t =log3x. Тогда получим неравенство

2(2-+log3x)−-13-≤ 1 log23x− 4log3x 2(2+ t)− 13 --t2−-4t---≤ 1 2t− 9 t2−-4t − 1≤ 0 2t− 9-− t2+-4t≤ 0 t2− 4t −t2+-6t− 9 t2− 4t ≤ 0 2 t−26t+-9≥ 0 t − 4t (t−-3)2≥ 0 t(t− 4)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t034+−−+

Получаем t ∈(−∞; 0)∪{3}∪ (4;+ ∞). Сделаем обратную замену и учтем, что x > 0:

( |||x > 0 ||{⌊ log3x< 0 ||| ||||⌈ log3x= 3 ( log3x> 4 (|x > 0 |||{⌊ log x< log 30 | 3 3 3 |||||⌈ log3x= log33 ( log3x> log334 (|x > 0 ||||{⌊ | x< 1 ||||⌈ x= 27 ||( x> 81

Таким образом, получаем:

x∈ (0;1)∪ {27}∪ (81;+∞ ).

Ответ: (0;1) ∪{27}∪ (81;+∞ )