Решите неравенство ${\log }_{11}(2x^2+1)+{\log }_{11}(\frac{1}{32x}+1)\ge {\log }_{11}(\frac{x}{16}+1).$

Пример решения № 1

Найдём ОДЗ:

(||2x2+ 1 >0 |||| ||{ -1-+ 1> 0 | 32xx ||||| 16-+ 1> 0 ||( 32x ⁄=0 (||x2 > − 1 |||| 2 ||{ 1+-32x-> 0 | 32x |||||x > −16 ||( (x⌊ ⁄= 0 ||| x< −-1 |||||⌈ 32 |{ x> 0 || ||||x > −16 ||(x ⁄= 0

Получаем ОДЗ:

( ) x ∈ −16;−-1 ∪(0;+∞ ). 32

На ОДЗ преобразуем неравенство, используя свойство логарифмов:

( 2 ) (-1- ) (-x ) log11 2x + 1 + log11 32x +1 ≥ log11 16 +1 ( )( ) ( ) log11 2x2+ 1 -1- +1 ≥ log11 -x +1 3(2x ) 16 (2x2+ 1) -1- +1 ≥ -x +1 32x 16 x 2 1 x 16 + 2x + 32x + 1 ≥ 16 + 1 1 2x2 + 32x-≥ 0 3 64x-+-1 ≥0 (32x ) (4x+-1)-16x2−-4x-+1- 32x ≥ 0

Решим уравнение 16x2− 4x + 1= 0. Найдём дискриминант:

D = (−4)2− 4⋅16= 16− 64< 0.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, 16x2− 4x +1 > 0 при всех x. Разделим неравенство на 2 16x − 4x+ 1> 0 и получим:

4x+ 1 -32x- ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

1 +−+−0x4

Пересечем полученные значения x с ОДЗ:

11 −−−0x14362

Получаем ответ:

( 1] x∈ − 16;− 4 ∪ (0;+ ∞).

Пример решения № 2

Запишем область допустимых значений: \begin{cases} Выполним преобразования: \log_{11}(2x^2+1)+ \log_{11}\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) = \log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \right). Неравенство примет вид: \log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \right) \geqslant \log_{11}\left( \dfrac{x}{16}+1 \right). Так как основание логафрима 11 > 1 , то \log_{11}f(x) -- возрастающая функция, значит: (2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \geqslant \dfrac{x}{16}+1; \dfrac{x}{16}+2x^2+\dfrac{1}{32x}+1 \geqslant \dfrac{x}{16}+1; 2x^2+\dfrac{1}{32x} \geqslant0; \dfrac{64x^3+1}{32x} \geqslant 0; \dfrac{(4x+1)(16x^2-4x+1)}{32x} \geqslant 0. Заметим, что множитель (16x^2-4x+1) всегда положителен, так как D= 16-64=-48 и коэффициент перед x^2 больше нуля, тогда неравенство примет вид: \dfrac{4x+1}{32x} \geqslant0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 1

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ: Изображение 2

x \in \left(-16; - \dfrac{1}{4} \right] \cup (0; + \infty). Ответ: \left(-16; - \dfrac{1}{4} \right] \cup (0; + \infty) .

Ответ: ( ] −16;− 1 ∪(0;+∞ ) 4