Задание 3 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 024079
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдём ОДЗ:
({ 4− x> 0 ( x2− 8x + 16 > 0 ({ 4− x> 0 ( (x − 4)2 > 0 ({ x< 4 ( x⁄= 4 x< 4
Решим неравенство на ОДЗ:
x2log9(4− x)− 2log |x− 4|≥0 2 2
Преобразуем неравенство с учетом условия x− 4< 0 :
x2 log (4 − x) − 2 log (4 − x)≥ 0 9 ( 2 ) 2 x2− 2 log(4− x)≥ 0 (9 ) 2 x2 − 18 log2(4− x)≥ 0
Применив метод рационализации для логарифма, получим:
(x2− 18)(2− 1)(4− x − 1)≥ 0 (x2− 18)(3− x)≥ 0 ( √ --)( √ -) x − 18 x+ 18 (3 − x) ≥0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
√√ - x−33+−+−32 2
Получаем ( √-] [ √-] x ∈ − ∞;− 3 2 ∪ 3;3 2 .
Тогда, учитывая ОДЗ, ответом будет ( √ ] x ∈ −∞; −3 2 ∪[3;4).
Ответ: ( √ -] −∞; −3 2 ∪[3;4)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(((x)+10x+25))2≥.FIPI ID 1EF816