Решите неравенство $1+\frac{5}{{\log }_{4}x-3}+\frac{6}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4(64x^6)+12}\ge 0$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Воспользуемся свойством логарифма и преобразуем ( 6) log4 64x :

log (64x6) =log 64+ log x6 = 4 4 4 = 3+ 6log4|x|.

С учётом ограничения x> 0 опустим модуль:

3+ 6log4|x|= 3+ 6log4x.

Сделаем замену t =log4x. Тогда получим неравенство:

1+ -5--+ ------6------≥ 0 t− 3 t2− 3− 6t+12 -5-- ----6---- 1+ t− 3 + t2− 6t+9 ≥ 0 5 6 1+ t−-3 +-----2 ≥ 0 (t− 3) (t− 3)2+ 5(t− 3) +6 ------(t−-3)2------≥ 0 t2−-6t+9-+5t−-15+-6 ≥0 (t− 3)2 2 t-−-t2 ≥ 0 (t− 3) t(t− 1) (t−-3)2 ≥ 0

По методу интервалов:

031t++−+

Сделаем обратную замену и учтем, что x> 0:

( ||| x >0 |||| ⌊ |{ |log4x≤ 0 || ||1 ≤log x< 3 ||||| |⌈ 4 |( log4x> 3 ( |||| x⌊ >0 ||||{ log x≤ log 1 || 4 4 |||| ||log44≤ log4x < log464 |||| |⌈ ( log4x> log464 (| |||| x⌊ >0 |||{ |x ≤ 1 || ||||| ||4 ≤x < 64 |||( ⌈ x > 64

0146x4

Итого: x∈ (0;1]∪ [4;64)∪(64;+ ∞ ).

Пример решения № 2

Для существования левой части неравенства необходимо выполнение условия x > 0 .

Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения: 1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{\log_4^2 x - \log_4{64} - \log_4 (x^6) + 12} \geqslant 0. Так как x > 0 , то 1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{\log_4^2 x - 6\log_4 x + 9} \geqslant 0; 1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{(\log_4 x - 3)^2} \geqslant 0. Сделаем замену \log_4 x = t : 1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{(t - 3)^2} \geqslant 0; \frac{(t - 3)^2 + 5(t - 3) + 6}{(t - 3)^2} \geqslant 0; \frac{t^2 - 6t + 9 + 5t - 15 + 6}{(t - 3)^2} \geqslant 0; \frac{t^2 - t}{(t - 3)^2} \geqslant 0; \frac{t(t - 1)}{(t - 3)^2} \geqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 2

Получаем: t \in (-\infty; 0] \cup [1; 3) \cup (3; +\infty). Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностю логарифма: \left[ Получаем: x \in (0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty) . Изображение 1

Ответ: (0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty) .

Ответ: (0;1]∪[4;64)∪ (64;+∞ )