Решите неравенство $\frac{{\log }_3(81x)}{{\log }_{3}x-4}+\frac{{\log }_{3}x-4}{{\log }_3(81x)}\ge \frac{24-{\log }_3{x}^8}{{\log }_3^{2}x-16}$.

Пример решения № 1

Найдем ограничения логарифмов: x> 0.

Сделаем замену log3x =t. Тогда при ограничениях выше имеем:

log3(81x)= log3(81)+ log3x= 4 +t log3(x8) =8 log3x= 8t

Тогда исходное неравенство примет вид:

4+-t+ t−-4≥ 242-− 8t t− 4 4+ t t− 16 t+-4+ t−-4 − --24−-8t--≥ 0 t− 4 t+ 4 (t− 4)(t+ 4) (t+ 4)2 (t− 4)2 24− 8t (t−-4)(t+-4) + (t−-4)(t+-4) − (t− 4)(t+4)-≥ 0 t2+-8t+-16+-t2−-8t+-16−-24+-8t≥ 0 (t− 4)(t+ 4) 2t2+ 32− 24+ 8t --(t−-4)(t+-4)- ≥ 0 2 -2t+-8t+-8-≥ 0 (t− 4)(t+ 4) 2(t +2)2 (t−-4)(t+-4) ≥ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

−−4x+−−+ 42

Таким образом, решением будут:

t∈(− ∞;−4)∪ {−2}∪ (4;+ ∞)

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊x < 1- log3x< −4 || 81 |⌈log3x= −2 ⇒ || 1 log x> 4 |⌈x = 9 3 x >81

Учитывая x> 0, получаем:

( 1 ) {1 } x ∈ 0;81 ∪ 9 ∪ (81;+∞ ).

Пример решения № 2

Для существования неравенства необходимо выполнение условия x > 0 .

Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения: \frac{\log_3 81 + \log_3x}{\log_3 x - 4} + \frac{\log_3 x - 4}{\log_3 81 + \log_3x} \geqslant \frac{24 - \log_3 x^8}{\log_3^2 x - 16}. Так как x > 0 , то \frac{4 + \log_3 x}{\log_3 x - 4} + \frac{\log_3 x - 4}{4 + \log_3 x} \geqslant \frac{24 - 8\log_3 x}{\log_3^2 x - 16}. Сделаем замену \log_3 x = t : \frac{4 + t}{t - 4} + \frac{t - 4}{4 + t} \geqslant \frac{24 - 8t}{t^2 - 16}; \frac{(t+4)^2 + (t-4)^2}{(t-4)(t+4)} \geqslant \frac{8(3 - t)}{(t-4)(t+4)}; \frac{(t^2 + 8t + 16) + (t^2 - 8t + 16)}{(t-4)(t+4)} \geqslant -\frac{8(t - 3)}{(t-4)(t+4)}; \frac{2(t^2 + 16)}{(t-4)(t+4)} \geqslant -\frac{8(t - 3)}{(t-4)(t+4)}; \frac{2(t^2 + 16)}{(t-4)(t+4)} + \frac{8(t - 3)}{(t-4)(t+4)} \geqslant 0; \frac{2(t^2 + 16) + 8(t - 3)}{(t-4)(t+4)} \geqslant 0; \frac{2t^2 + 32 + 8t - 24}{(t-4)(t+4)} \geqslant 0; \frac{2(t^2 + 4t + 4)}{(t-4)(t+4)} \geqslant 0; \frac{2(t + 2)^2}{(t-4)(t+4)} \geqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 2

Получаем: t \in (-\infty; -4) \cup \{-2\} \cup (4; +\infty). Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма: \left[ Получаем: x\in\left(0; \dfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\dfrac{1}{9}\right\} \cup (81; +\infty) . Изображение 1

Ответ: \left(0; \dfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\dfrac{1}{9}\right\} \cup (81; +\infty) .

Ответ: ( 1-) { 1} 0;81 ∪ 9 ∪ (81;+ ∞)