Задание 20 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 50E75D
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдём ОДЗ:
({ −2 − x > 0 ( x2+ 4x+ 4> 0 ({ −2 − x > 0 ( (x+ 2)2 > 0 ({ x <− 2 ( x ⁄=− 2 x < −2
Решим неравенство на ОДЗ:
x2log4(−2 − x)− 2log |− 2 − x|≥ 0 5 5
Преобразуем неравенство с учетом условия x+ 2< 0 :
x2log(−2 − x) − 2 log (− 2− x)≥ 0 4 (5 ) 5 x2 − 2 log (− 2− x)≥ 0 4 5 (x2− 8)log5(−2− x)≥ 0
Применив метод рационализации для логарифма, получим:
(x2− 8)(5− 1)(−2 − x − 1)≥ 0 4(x2− 8)(− 3− x)≥ 0 ( √ ) ( √-) 4 x− 8 x+ 8 (− 3− x)≥ 0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
√√ - x−−2+−+−322 2
Получаем [ √- √-] x ∈ (− ∞;− 3]∪ −2 2;2 2 .
Тогда, учитывая ОДЗ, ответом будет [ √ - ) x ∈(−∞; −3]∪ − 2 2;−2 .
Ответ: [ √- ) (−∞; −3]∪ − 2 2;−2
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932