Решите неравенство $\frac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}\ge 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

x3+ x2− x − 1= x2(x+ 1)− (x +1)= (2 ) 2 = (x+ 1)⋅x − 1 =(x+ 1) ⋅(x− 1)

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

2 2 4x − 8 ⋅2x + 16= = (2x2)2− 2⋅(2x2) ⋅4+ 42 = ( ) = 2x2 − 4 2

Перепишем неравенство:

(x+ 1)2⋅(x− 1) --(-x2---)2--≥ 0. 2 − 4

Так как (2x2 − 4)2 ≥ 0, то неравенство равносильно системе:

( { (x+ 1)2 ⋅(x− 1)≥ 0 ( x2 )2 ( 2 − 4 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

x−1−−+ 1

Получим, что

x ∈{− 1}∪[1;+∞ ).

Решим второе неравенство системы:

( 2 )2 2x − 4 ⁄= 0 x2 2 −2 4 ⁄= 0 2x ⁄= 22 x2 ⁄= 2 √ - x⁄= ± 2

Тогда система примет вид:

{ x ∈{−√1}∪[1;+∞ ) x ⁄= ± 2

Получаем ответ:

[ √-) (√ - ) x ∈{− 1} ∪ 1; 2 ∪ 2;+ ∞ .

Ответ: [ √-) (√- ) {− 1} ∪ 1; 2 ∪ 2;+∞