Задание 33 из 63Показательные неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 757A1B
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Сделаем замену 3x = t, t> 0. Перенесем все в одну сторону и приведем дроби к общему знаменателю:
--4-- -1-- t− 27 ≥ t− 9 --4--− --1- ≥ 0 t− 27 t− 9 4⋅(t− 9)−-1⋅(t−-27) (t− 27)(t− 9) ≥ 0 4t−-36−-t+-27≥ 0 (t− 27)(t− 9) t− 3 (t− 27)(t−-9) ≥ 0
По методу интервалов при t> 0 :
t0392−+−+7
Итого: t∈ [3;9)∪(27;+ ∞ )
Сделаем обратную замену:
[ 3≤ t< 9 t> 27 [3≤ 3x <32 x 3 [3 > 3 1≤ x < 2 x >3
Таким образом, решением является: x ∈[1;2)∪ (3;+ ∞).
Ответ: [1;2)∪(3;+∞ )
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Показательные неравенстваРешите неравенство ≤FIPI ID 160E7EПоказательные неравенстваРешите неравенство (11)−6−≤…FIPI ID 259766Показательные неравенстваРешите неравенство ((8)^(x+)−9⋅(4)^(x+)+13⋅(2)−13)/((4)^(x+)−9⋅(2)^…FIPI ID 3416BFПоказательные неравенстваРешите неравенство ≥FIPI ID 483E44Показательные неравенстваРешите неравенство ≤0.FIPI ID 4F4FA2Показательные неравенстваРешите неравенство ≥0.FIPI ID 62020B