Решите неравенство $\frac{{\log }_3(9x)\cdot {\log }_4(64x)}{5x^2-|x|}\le 0$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение:

{ 9x> 0 ⇔ x> 0 64x > 0

В силу ограничений |x|= x, тогда знаменатель примет вид 5x2− x = x(5x − 1).

По методу рационализации получаем:

(3-− 1)(9x-−-1)(4−-1)(64x−-1)≤ 0 x(5x − 1) (9x-−-1)(64x−-1)≤ 0 x(5x − 1)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

111 x0695+−+−+4

Тогда с учетом ограничений получаем:

( ] [ ) x∈ 0; 1 ∪ 1; 1 64 9 5

Пример решения № 2

Учитывая область определения логарифмов x > 0 , модуль раскрывается однозначно: |x| = x. Приведём неравенство к следующему виду: \frac{(\log_3(9x) - \log_3{1})\cdot (\log_4(64x) - \log_4{1})}{x(5x - 1)} \leqslant 0. Воспользуемся методом рационализации. Так как 3 > 1 и 4 > 1 , то наше неравенство равносильно системе: \begin{cases} Умножая первое неравенство на x > 0 , получаем: \dfrac{(9x-1)(64x-1)}{5x-1} \leqslant 0. Воспользуемся методом интервалов: Изображение 2

С учётом ОДЗ получаем: x \in \left(0; \frac{1}{64}\right] \cup \left[\frac{1}{9}; \frac{1}{5}\right). Изображение 1

Ответ: x \in \left(0; \dfrac{1}{64}\right] \cup \left[\dfrac{1}{9}; \dfrac{1}{5}\right) .

Ответ: ( ] [ ) 0; 1 ∪ 1; 1 64 9 5