Решите неравенство $({\log }_{0,25}^2(x+3)-{\log }_4(x^2+6x+9)+1)\cdot {\log }_4(x+2)\le 0.$

Пример решения № 1

Выпишем ОДЗ:

( || x+ 3 >0 |{ 2 || x + 6x+ 9> 0 |( x+ 2 >0 ( |||{ x >− 3 (x+ 3)2 > 0 |||( x >− 2 x > −2

По свойствам логарифмов на ОДЗ имеем:

log4(x2+ 6x + 9) = log4(x + 3)2 = 2log4(x +3) ( ) log20,25(x+ 3)= log0,25(x +3) 2 = (log4−1(x+ 3))2 = = (− log (x+ 3))2 = log2(x+ 3) 4 4

Тогда получаем:

(log2(x+ 3)− 2log (x+ 3)+1) ⋅log (x +2)≤ 0 4 4 4 (log4(x +3)− 1)2⋅log4(x+ 2)≤ 0

Заметим, что (log4(x+ 3)− 1)2 ≥ 0. Отсюда имеем одно из двух условий.

Либо первое:

log4(x+ 3)− 1 = 0 x+ 3= 4 x =1

Либо второе:

log4(x+ 2)≤ 0 log4(x + 2) ≤log41 0< x +2 ≤ 1 −2 < x≤ −1

С учётом ОДЗ получаем:

x∈ (−2;−1]∪{1}.

Пример решения № 2

Найдем область допустимых значений.

Для существования всех логарифмов нужно, чтобы \begin{cases} Так как x^2+6x+9=(x+3)^2, то из условия x+3>0 уже следует, что (x+3)^2>0 .

Значит, ОДЗ: x>-2. Теперь преобразуем первый множитель.

Так как \log_{0{,}25}(x+3)=\log_{\frac14}(x+3)=-\log_4(x+3), то \log_{0{,}25}^2(x+3)=\bigl(-\log_4(x+3)\bigr)^2=\log_4^2(x+3). Кроме того, на ОДЗ имеем x+3>0 , значит, \log_4(x^2+6x+9)=\log_4\bigl((x+3)^2\bigr)=2\log_4(x+3). Поэтому первый множитель равен \log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1. Это полный квадрат: \log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1=\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2. Тогда исходное неравенство принимает вид \bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2\cdot \log_4(x+2)\leqslant 0. Первый множитель есть квадрат, значит, он неотрицателен: \bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2\geqslant 0. Он обращается в ноль, когда \log_4(x+3)-1=0, \log_4(x+3)=1, x+3=4, x=1. Так как квадрат не меняет знак, знак произведения определяется знаком множителя \log_4(x+2) , кроме точки x=1 , где квадрат равен нулю.

Решим неравенство \log_4(x+2)\leqslant 0. Так как основание логарифма 4 > 1 , получаем: 0 Отсюда -2 Кроме того, нужно добавить точку, в которой квадрат равен нулю: x = 1. Следовательно, x \in (-2; -1] \cup \{1\}. Ответ: (-2; -1] \cup \{1\} .

Ответ: (−2;−1]∪ {1}