Решите неравенство $1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{{\log }_2^{2}x-{\log }_2(32x^{10})+30}\ge 0$.

Пример решения № 1

Запишем ограничение x> 0.

Воспользуемся свойством логарифма и преобразуем ( ) log2 32x10 :

log (32x10) =log 32+ log x10 = 2 2 2 = 5+ 10log2|x|.

С учётом ограничения x> 0 опустим модуль:

5+ 10log2|x|= 5+ 10log2x.

Сделаем замену t =log x. 2 Тогда получим неравенство:

1+ -10- + -----16------≥ 0 t − 5 t2 − 5 − 10t+ 30 -10- ----16---- 1+ t− 5 + t2− 10t+25 ≥ 0 10 16 1+ t−-5 + (t−-5)2 ≥ 0 (t−-5)2+-10(t−-5)-+16- (t− 5)2 ≥ 0 t2−-10t+-25-+10t−-50+-16≥ 0 (t− 5)2 2 t-−-92 ≥ 0 (t− 5) (t− 3)(t+ 3) ---(t−-5)2--≥ 0

По методу интервалов:

−53t++−+ 3

Сделаем обратную замену и учтем, что x> 0:

( ||| x >0 ||{ ⌊log2x≤ −3 | || |||| ⌈3 ≤log2x< 5 ( log2x> 5 (| x >0 |||| ⌊ 1 { |log2x≤ log28 ||| ||log28≤ log2x < log232 ||( ⌈ ( log2x> log232 || x⌊ >0 |||{ x ≤ 1 || 8 |||| |⌈8 ≤x < 32 |( x > 32

083x12 8

Итого: ( ] x∈ 0; 1 ∪[8;32)∪ (32;+∞ ). 8

Ответ: ( ] 0; 1 ∪[8;32)∪ (32;+ ∞) 8