Решите неравенство $\frac{3^x+9}{3^x-9}+\frac{3^x-9}{3^x+9}\ge \frac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}.$

Пример решения № 1

Пусть t= 3x. Тогда неравенство примет вид:

t+-9 t−-9 --12t+144-- t− 9 + t+ 9 ≥ (t− 9)(t+ 9) 2 2 (t+-9)-+(t−-9)-− (12t+-144) ≥0 (t− 9)(t+ 9) (t2+ 18t+ 81)+ (t2 − 18t+ 81)− 12t− 144 -------------(t−-9)(t+-9)------------ ≥0 2 2t-−-12t+-18 ≥ 0 (t− 9)(t+ 9) -2(t−-3)2--- (t− 9)(t+ 9) ≥ 0

Заметим, что x t= 3 >0, поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительно выражение t+ 9 и поделим на 2, получим:

(t−-3)2 ≥ 0. t − 9

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t39−−+

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ t= 3 t> 9 [ x 1 3 = 3 3x > 32 [x= 1 x> 2

Получим:

x∈ {1}∪ (2;+∞ ).

Ответ: {1}∪ (2;+ ∞)