Задание 23 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 55862F
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Запишем ОДЗ неравенства
( x> 0 ||||| |||| lo4g2x ⁄= 0 { { x > 0 ⇒ x >0 ||| x⁄= 0 x ⁄=1 |||| log x2 ⁄= 0 ||( x22 > 0
Итоговая ОДЗ: x∈ (0;1)∪ (1;+ ∞). Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:
4 38 log2x-− (log24 − log2x)≤ 2log2x -4---− 2 +log2x≤--19- log2x log2x
Сделаем замену log2x= t и получим:
4− 2+ t≤ 19 t t t2−-2t+-4−-19- t ≤ 0 t2− 2t− 15 ----t-----≤ 0 (t+-3)(t−-5)≤ 0 t
Решим полученное неравенство методом интервалов:
t−05−+−+3
Отсюда получаем t∈ (− ∞;− 3]∪ (0;5]. Сделаем обратную замену
[ t≤ − 3 0 < t≤5 [ log2x≤ −3 ⌊0 < log2x≤ 5 0 < x≤ 1 ⌈ 8 ⌊log21< log2x ≤ log232 0 < x≤ 1 ⌈ 8 1 < x≤ 32
Таким образом, с учетом ОДЗ, получаем
( ] x ∈ 0; 1 ∪ (1;32]. 8
Ответ: ( ] 0; 1 ∪(1;32] 8
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932