Решите неравенство $\frac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}\le 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

33x − 15⋅9x+ 7⋅3x+2− 81= x 3 x2 x = (3) − 15⋅(3) + 63⋅3 − 81.

Пусть t= 3x. Тогда получим

x3 x 2 x (3 ) − 15 ⋅(3 ) +63 ⋅3 − 81 = = t3− 15t2+ 63t− 81.

Убедимся в том, что t= 3 является корнем этого кубического многочлена:

33− 15⋅32+ 63⋅3− 81= = 27− 15⋅9+ 21⋅9 − 81 = = 27− 9(15− 21) − 81 = =27 +54 − 81 =0.

Поделим многочлен t3− 15t2+ 63t− 81 столбиком на t− 3 :

| t3 − 15t2 + 63t − 81 t−-3------ t3-− 3t2----- t2− 12t+ 27 − 12t22 + 63t -−-12t-+-36t----- 27t − 81 ---27t-− 81- 0

Таким образом,

3 2 t− 15t( +2 63t− 81=) = (t− 3) t − 12t+ 27 = = (t− 3)(t− 3)(t− 9)= =(t− 3)2(t− 9).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

(3x − 3)2(3x− 9) -----x−-1-----≤ 0 (x 1)2( x 2) -3-−-3---3-−-3--≤ 0 x− 1

По методу рационализации:

((3-− 1)(x−-1))2((3-−-1)(x−-2)) x− 1 ≤ 0 22 ⋅(x − 1)2⋅2⋅(x− 2) -------x−-1-------≤ 0 2 (x-−-1)-(x−-2)≤ 0 x− 1

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x12+−+

Получаем ответ:

x ∈ (1;2].

Ответ: (1;2]