Решите неравенство $\frac{{\log }_{2}32x}{{\log }_{2}x-5}+\frac{{\log }_{2}x-5}{{\log }_{2}32x}\ge \frac{{\log }_2{x}^{16}+18}{{\log }_2^{2}x-25}$.

Пример решения № 1

Ограничения логарифмов: x > 0.

Воспользуемся свойствами логарифма:

log (32x)= log 32 +log x= 5+ log x. 2 2 2 2

Учтём ограничение x > 0 и преобразуем log2(x16):

( 16) log2 x = 16log2|x|=16 log2x.

Сделаем замену y = log2x. Тогда неравенство при x> 0 равносильно:

y +5 y− 5 16y +18 y-− 5 + y+-5 ≥ y2−-25 2 2 y-+-10y-+25-+y-−-10y+-25−-16y−-18≥ 0 (y+ 5)(y − 5) 2 (y2− 8y+ 16) -(y+-5)(y-− 5)-≥ 0 --2(y−-4)2-- ≥0 (y+ 5)(y − 5)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

y−45+−−+ 5

Получаем:

⌊ |y < −5 ⌈y = 4 y > 5

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log2x< − 5 0< x< -1 |⌈ log2x= 4 ⇔ ||⌈ x= 16 32 log2x> 5 x> 32

Таким образом, получаем:

( 1) x ∈ 0;32 ∪ {16} ∪(32;+ ∞ )

Ответ: ( ) 0; 1 ∪ {16}∪(32;+∞ ) 32