Решите неравенство ${\log }_5((3-x)(x^2+2))\ge {\log }_5(x^2-7x+12)+{\log }_5(5-x)$.

Пример решения № 1

Выпишем ОДЗ:

(| ( 2 ) ||{ (3 − x) x + 2 > 0 | x2− 7x+ 12> 0 ||( ( 5− x> 0 || 3− x> 0 |{ || (x − 4)(x− 3)> 0 |( 5− x> 0 ( |||{ x− 3< 0 (x − 4)(x− 3)> 0 |||( x− 5< 0 (|| x− 3< 0 |{ | x− 4< 0 ||( x− 5< 0 ( ||| x< 3 { ||| x< 4 ( x< 5

Получаем ОДЗ x∈ (−∞; 3).

Теперь вернёмся к исходному неравенству:

log ((3− x)(x2+ 2)) ≥ log (x2− 7x+ 12) +log(5− x) 5 ( (2 )) 5 (( 2 ) 5 ) log5 (3− x)x +2 ≥ log5 x − 7x+ 12 (5− x) (3 − x)(x2+ 2)≥ (x2− 7x+ 12)(5− x) ( 2 ) (3− x) x + 2 ≥ (x − 4)(x− 3)(5− x) (3 − x)(x2+ 2)+ (3− x)(x− 4)(5 − x) ≥0 ( 2 ) (3− x)( x + 2+ (x− 4)(5− x) ≥) 0 (3− x)x2 +2 +5x − 20 − x2 +4x ≥ 0 (3− x)(9x− 18)≥ 0 (3− x)(x− 2)≥ 0.

Из ОДЗ x− 3 <0, то есть 3− x> 0. Поделим обе части неравенства на 3− x> 0. После деления знак неравенства сохранится и получим:

x− 2≥ 0 x ≥2.

Получаем:

x∈ [2;+∞ ).

Учтём ОДЗ:

pict

Ответ: [2;3)