Решите неравенство $\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot {64}^x-32}\le 1.$

Пример решения № 1

Воспользуемся свойствами степени:

8x+1 = 8x⋅8 ( ) 64x = 82 x = 82⋅x = (8x)2

Пусть x t= 8 . Тогда неравенство примет вид:

-8t−-40-≤ 1 2t2− 32 8t−-40- 2t2 − 32 − 1≤ 0 8t− 40− 2t2+ 32 ---2t2−-32----≤ 0 2 −-2t+-8t−-8≤ 0 2t2− 32 −2(t2−-4t+-4) 2(t2− 16) ≤ 0 2 -−(t−-2)--≤ 0 (t− 4)(t+ 4)

Заметим, что t= 8x >0, поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительно выражение t+ 4, получим:

2 −(t−-2)--≤0. t − 4

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t42++−

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ t= 2 t> 4 ⌊ x 1 ⌈8 = 832 8x > 83 ⌊ 1 | x= 3 ⌈ x> 2 3

Получим:

{ } ( ) x ∈ 1 ∪ 2;+∞ . 3 3

Ответ: { } ( ) 1 ∪ 2;+∞ 3 3