Задание 9 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1FCDE0
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдем ОДЗ:
25− x2 > 0 2 x < 25 x∈ (−5;5)
Сделаем замену t =log (25− x2). 3 Тогда неравенство примет вид:
2 t− 3t+ 2≥ 0 (t− 2)(t− 1)≥ 0 t∈ (− ∞;1]∪ [2;+∞ )
Тогда сделаем обратную замену. Решением будет являться совокупность неравенств:
[ ( ) log3 25 − x2 ≤ 1 log3 (25 − x2)≥ 2 [ ( 2) log3 2(5 − x2)≤ log3 3 [log3 25 − x ≥ log3 9 0 <25 − x2 ≤3 25− x2 ≥ 9 [ 2 22≤ x <25 x2 ≤ 16 [x ∈(− 5;− √22]∪[√22;5) x ∈[−4;4]
Таким образом, получаем x ∈ (− 5;− √22]∪ [− 4;4]∪ [√22;5).
Ответ: ( √ --] [√-- ) −5;− 22 ∪[−4;4]∪ 22;5
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932