Решите неравенство ${\log }_{0,5}(x^3-3x^2-9x+27)\le {\log }_{0,25}{(x-3)}^4.$

Пример решения № 1

Найдем ОДЗ неравенства:

pict

Получаем x ∈ (− 3;3)∪ (3;+ ∞).

На ОДЗ неравенство равносильно:

log0,5(x3 − 3x2− 9x+ 27)≤ log0,25(x− 3)4 2 ( 2)2 log0,5(x− 3) (x +3)≤ log0,52 (x− 3) log0,5(x− 3)2(x+ 3)≤ log0,5(x− 3)2

Так как основание логарифма меньше единицы, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак меняется на противоположный. Тогда по методу рационализации имеем:

(x− 3)2(x+ 3)≥ (x− 3)2 (x − 3)2(x+ 2)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x−3−++ 2

Пересечем с ОДЗ:

x−−323

Итоговое решение:

x∈ [− 2;3)∪ (3;+ ∞).

Пример решения № 2

Приведём логарифмы к одному основанию: \log_{0,25}(x-3)^4 = \log_{0,5^2}(x-3)^4 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_{0,5}(x-3)^2 = \log_{0,5}(x-3)^2. Неравенство принимает следующий вид: \log_{0,5} \left( x^3 - 3x^2 - 9x + 27 \right) \leqslant \log_{0,5}(x-3)^2. Воспользуемся методом рационализации. Основание 0,5 , поэтому неравенство равносильно следующей системе: \begin{cases} Последнее неравенство системы выполнено, если выполнены первые два. Тогда получаем систему: \begin{cases} Разложим левую часть первого неравенства на множители: x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = x^2(x-3) - 9(x-3) = (x-3)(x^2 - 9) = = (x-3)(x-3)(x+3) = (x-3)^2(x+3). Получаем: \begin{cases} Итого получаем: [-2;3) \cup (3;+\infty) . Ответ: [-2;3) \cup (3;+\infty) .

Ответ: [−2;3)∪(3;+∞ )