Задание 53 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BF9904
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Запишем ОДЗ:
( 4x2− 1> 0 ||{ | x> 0 |( 5x+ 9 − 11 > 0 ( 2 x |||{ 4x − 1> 0 x> 0 |||( 5x2−-11x+-9 x >0
Рассмотрим квадратное уравнение 2 5x − 11x +9 = 0. Найдём дискриминант:
D = (−11)2 − 4 ⋅5 ⋅9= = 121− 180 < 0
Дискриминант меньше нуля, следовательно, 2 5x − 11x +9 > 0 при всех x.
С учетом этого рассуждения найдем ОДЗ:
( |||4x2− 1> 0 {x > 0 ||| 5x2 − 11x+ 9 ( ----x------> 0 { 2 2 (2x) − 1 > 0 {x >0 (2x− 1)(2x+ 1)> 0 x >0 (⌊ 1 |||{|x > 2 ⌈ 1 |||( x < −2 x > 0
Получим ОДЗ:
( ) x∈ 1;+ ∞ 2
Преобразуем исходное неравенство на ОДЗ:
( 2 ) ( 2 ) log2 4x-−-1 ≤ log2 5x-−-11x-+9- x x 4x2-− 1 5x2−-11x+-9 x ≤ x 5x2− 11x+ 9− 4x2+ 1 ---------x--------- ≥0 x2− 11x+ 10 -----x----- ≥0 (x − 1)(x− 10) -----x------≥ 0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
011x+−+−0
Пересечем полученные значения x с ОДЗ:
0111x0 2
Получим:
( ] x ∈ 1;1 ∪ [10;+∞ ). 2
Ответ: ( ] 1;1 ∪[10;+ ∞ ) 2
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932