Решите неравенство $\frac{{\log }_4(64x)}{{\log }_{4}x-3}+\frac{{\log }_{4}x-3}{{\log }_4(64x)}\ge \frac{{\log }_4{x}^4+16}{{\log }_4^{2}x-9}$.

Пример решения № 1

Ограничения логарифмов: x > 0.

Воспользуемся свойствами логарифма:

log (64x)= log 64 +log x= 3+ log x. 4 4 4 4

Учтём ограничение x > 0 и преобразуем log4x4 :

4 log4x =4 log4|x|= 4 log4x.

Сделаем замену y = log4x. Тогда неравенство при x> 0 равносильно:

y+ 3 y − 3 4y+ 16 y−-3 + y-+3 ≥ y2-− 9 2 2 y-+-6y+-9+-y-−-6y-+-9−-4y-−-16-≥ 0 (y+ 3)(y − 3) --2(y−-1)2-- (y+ 3)(y − 3) ≥0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

y−13+−−+ 3

Получаем:

⌊ y < −3 |⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ |log4x< − 3 ⌈log4x= 1 ⌊log4x> 3 log x< log 1- || 4 4 64 |⌈log4x= log4 4 log4x> log4 64 ⌊ 1 |0 < x< 64 ||x = 4 ⌈ x > 64

Тогда окончательно получаем:

( ) x ∈ 0; 1 ∪ {4}∪(64;+∞ ). 64

Ответ: ( ) 0; 1 ∪ {4}∪ (64;+∞ ) 64