Решите неравенство ${\log }_5(3x+1)+{\log }_5(\frac{1}{72x^2}+1)\ge {\log }_5(\frac{1}{24x}+1)$.

Пример решения № 1

Запишем ограничения на логарифмы:

( 3x + 1> 0 ( 1 ||||| |||||x >− 3 { -1-2 + 1> 0 { || 72x ⇔ ||x ⁄=0 |||( -1-+ 1> 0 |||(1-+24x > 0 24x 24x

Решая последнее и пересекая с первым и вторым ограничением, получаем:

( ) x∈ − 1;−-1 ∪(0;+∞ ) 3 24

Так как в левой части сумма логарифмов с одинаковым основанием, то воспользуемся формулой и преобразуем неравенство на ОДЗ:

( 1 ) ( 1 ) log5 ((3x+ 1) 72x2-+ 1 )≥ log5 24x + 1

Так как основание логарифмов одинаковое в обеих частях неравенства, то опустим логарифмы, при этом не поменяв знак, так как 5 > 1. Получим:

( ) (3x +1) -1--+ 1 ≥ 1--+ 1 72x2 24x -3x2 +3x + -12-+ 1≥ -1-+ 1 72x 72x 24x 3x-+1 -1- 72x2 + 3x− 24x ≥ 0 3 216x--+1-≥ 0 72x2 (6x+ 1)(36x2− 6x+ 1) --------72x2-------≥ 0

36x2− 6x+ 1> 0 при любом значении x , так как D = − 108 < 0;

Тогда поделим обе части неравенства на это выражение:

6x+-1 72x2 ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

1 x−0−++ 6

Тогда с учетом ограничений, получаем ответ:

[ ) x ∈ − 1;− 1 ∪ (0;+ ∞). 6 24

Ответ: [ ) − 1;−-1 ∪ (0;+∞ ) 6 24