Решите неравенство ${11}^x-6-\frac{24\cdot {11}^x-244}{{121}^x-16\cdot {11}^x+60}\le \frac{1}{{11}^x-10}.$

Пример решения № 1

Пусть t= 11x > 0. Тогда неравенство примет следующий вид:

-24⋅t−-244-- --1-- t− 6− t2 − 16 ⋅t+ 60 ≤ t− 10 24⋅t− 244 1 t− 6 − (t−-6)(t−-10) ≤ t−-10.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем их к общему знаменателю:

(t−-6)2(t−-10)−-(24t−-244)− (t−-6) (t− 6)(t− 10) ≤ 0 3 2 t-−-22t-+156t−-360−-24t+-244−-t+-6≤ 0 (t− 6)(t− 10) t3−-22t2+-131t− 110 (t− 6)(t− 10) ≤ 0

Заметим, что t= 1 является корнем уравнения 3 2 t − 22t +131t− 110= 0:

13− 22⋅12+ 131 ⋅1− 110 = 1− 22+ 131 − 110 =0

По теореме Безу, поскольку t= 1 — корень уравнения, многочлен 3 2 t − 22t+ 131t− 110 делится на (t− 1) без остатка. Разложим его на множители:

( ) (t−-1)-t2-− 21t+-110 (t− 6)(t− 10) ≤ 0 (t−-1)(t−-10)(t−-11) ≤ 0 (t− 6)(t− 10)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t1611−+−−+01

Тогда решением неравенства будет совокупность:

⌊ t{≤ 1 |⌈ 6< t≤ 11 t⁄= 10 ⌊ x |1{1 ≤ 1 x ⌈ 6<x 11 ≤ 11 11 ⁄= 10 ⌊x ≤ 0 |⌈{log 6< x≤ 1 x⁄=11log 10 11

Таким образом, получим

x ∈ (− ∞;0]∪ (log116;log1110)∪(log1110;1].

Ответ: (−∞; 0]∪(log116;log1110)∪ (log1110;1]