Задание 51 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BAB6D0
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Найдем ОДЗ:
x2− 16> 0 2 x > 16 x∈ (−∞; −4)∪(4;+∞ )
Сделаем замену t =log (x2− 16). 3 Тогда ненравенство примет вид:
2 t− 5t+ 6≥ 0 (t− 3)(t− 2)≥ 0 t∈ (− ∞;2]∪ [3;+∞ )
Тогда сделаем обратную замену. Решением будет являться совокупность неравенств:
[ ( ) log3 x2− 16 ≤ 2 log3(x2− 16)≥ 3 [ ( 2 ) log3(x2− 16)≤ log39 [log3 x − 16 ≥ log327 0< x2− 16≤ 9 x2− 16 ≥ 27 [ 2 16< x ≤ 25 x2 ≥ 43 [x∈ [− 5;− 4)∪(4;5] x∈ (−∞; −√43]∪ [√43;+∞ )
Таким образом, получаем x ∈ (− ∞;− √43]∪ [−5;− 4)∪ (4;5]∪ [√43;+ ∞ ).
Ответ: ( √ --] [√ -- ) −∞; − 43 ∪[−5;−4)∪ (4;5]∪ 43;+∞
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932