Задание 15 из 63Логарифмические неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 3991B7
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Запишем ОДЗ:
{ 2 (x− 5)(>20 ) { (x− 5)x − 2x − 15 > 0 (x− 5)2 >0 (x− 5)2(x+ 3)> 0 { x⁄= 5 x> − 3
Преобразуем неравенство, используя свойство логарифмов:
log4(x− 5)2 +log4(x+ 3)+ 1≥ log4(x− 5)2 log (x + 3) ≥− 1 4 ( ) log (x+ 3)≥ log 1 4 4 4 1 x +3 ≥ 4 x ≥ −2,75
Тогда в пересечении с ОДЗ:
−−5x 32,75
Получаем:
x ∈ [−2,75;5)∪ (5;+ ∞).
Ответ: [−2,75;5)∪ (5;+ ∞)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Логарифмические неравенстваРешите неравенство −≥log_(3)()FIPI ID 000E35Логарифмические неравенстваРешите неравенство (log_(0,25)(x+3)−+1)⋅≤0.FIPI ID 005232Логарифмические неравенстваРешите неравенство x ≥.FIPI ID 024079Логарифмические неравенстваРешите неравенство log_(2)(25−(x))−7+12≥0FIPI ID 09B4F9Логарифмические неравенстваРешите неравенство +log_(5)(+1)≥FIPI ID 15664CЛогарифмические неравенстваРешите неравенство +≥(6−…FIPI ID 1AE932