Решите неравенство ${\log }_{16}(x+5)+{\log }_{(x^2+10x+25)}2\ge \frac{3}{4}.$

Пример решения № 1

Запишем ОДЗ:

(|x +5 > 0 { 2 |(x2+ 10x+ 25> 0 (x + 10x+ 25⁄= 1 |{x > −5 x ⁄= −5 |(x ⁄= −6;x⁄= −4

Получаем:

x∈ (− 5;− 4)∪(−4;+∞ )

Заметим, что:

x2+ 10x +25 = (x +5)2 4 16 =2

Отметим, что в силу ОДЗ:

log(x2+10x+25)2 =log(x+5)22 = 1 1 = 2 log|x+5|2= 2 log(x+5)2

Тогда преобразуем неравенство на ОДЗ, пользуясь свойствами логарифмов:

1log2(x+ 5)+ 1log(x+5)2 − 3≥ 0 4 2 4 1 1 3 4 log2(x+ 5)+ 2log2(x+-5) − 4 ≥ 0

Сделаем замену:

t =log2(x +5)

Получим:

1t+ 1-− 3 ≥ 0 4 2t 4 t2+-2−-3t- 4t ≥ 0 (t−-1)(t−-2)≥ 0 t

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t012−+−+

Обратная замена:

[ 0< log2(x+ 5)≤ 1 log2(x+ 5)≥ 2 [ 1< x + 5≤ 2 x +5 ≥4 [−4 < x≤ −3 x ≥− 1

С учётом ОДЗ, получаем ответ:

x∈ (−4;−3]∪[−1;+∞ )

Ответ: (−4;−3]∪ [− 1;+ ∞)