Решите неравенство $\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot 2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot 2^x+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^x-2}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$

Пример решения № 1

Воспользуемся свойствами степени:

2x+1 = 2⋅2x x+12 x 12 ( 2)x (2)12 4 = 4 ⋅4 = 2 ⋅2 = = 22x ⋅22⋅12 = 22x⋅2= 2⋅(2x)2 x+23 x 23 ( 3)x (3)23 8 = 8 ⋅8 = 2 ⋅2 = = 23x⋅23⋅23 = 23x ⋅22 = 4⋅(2x)3

Пусть t= 2x >0. Тогда неравенство примет следующий вид:

4t3 − 9 ⋅2t2+ 13t− 13 1 3 ----2t2− 9t+-4----≤ 2t− t− 2-+ 2t−-1 3 2 4t-− 9-⋅22t-+-13t−-13-− 2t≤ −-1-+ --3--. 2t − 9t+ 4 t− 2 2t− 1

Посчитаем выражение из левой части:

4t3−-9⋅2t2+-13t− 13-− 2t= 2t2 − 9t+ 4 4t3 − 18t2+ 13t− 13− 2t(2t2− 9t+ 4) = -----------2t2−-9t+-4-----------= 3 2 3 2 = 4t-−-18t+-13t2−-13−-4t+-18t-− 8t = 2t− 9t+ 4 = ---5t−-13-- . (2t− 1)(t− 4)

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем их к общему знаменателю:

---5t−-13-- + -1--− --3--≤ 0 (2t− 1)(t− 4) t− 2 2t− 1 (5t−-13)(t−-2)+-(2t−-1)(t−-4)−-3(t−-4)(t−-2)≤ 0 (2t− 1)(t− 4)(t− 2) 5t2− 23t+ 26+ 2t2− 9t+ 4− 3t2+ 18t− 24 ----------(2t−-1)(t−-4)(t−-2)--------- ≤ 0 ---4t2−-14t+-6---≤ 0 (2t− 1)(t− 4)(t− 2) 2(2t− 1)(t− 3) (2t−-1)(t−-4)(t−-2) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

1 t2234−−+−+

Тогда решением неравенства будет совокупность:

⌊( { t< 2 ||( t⁄= 1 ⌈ 2 3( ≤ t< 4 ⌊{ 2x < 21 ||( x −1 ⌈ 2 ⁄= 2 2log23 ≤ 2x < 22 ⌊({ x< 1 || ⌈( x⁄= − 1 log23≤ x< 2

Таким образом, получим:

x ∈(−∞; −1)∪ (−1;1)∪[log23;2).

Пример решения № 2

Упростим показательные выражения: 8^{x+\frac{2}{3}} = (2^3)^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4 \cdot 2^{3x}; 4^{x+\frac{1}{2}} = (2^2)^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}. Неравенство принимает следующий вид: \frac{4 \cdot 2^{3x} - 9 \cdot (2 \cdot 2^{2x}) + 13 \cdot 2^x - 13}{2 \cdot 2^{2x} - 9 \cdot 2^x + 4} \leqslant 2^{x+1} - \frac{1}{2^x - 2} + \frac{3}{2^{x+1} - 1}; \frac{4 \cdot 2^{3x} - 18 \cdot 2^{2x} + 13 \cdot 2^x - 13}{2 \cdot 2^{2x} - 9 \cdot 2^x + 4} \leqslant 2\cdot 2^{x} - \frac{1}{2^x - 2} + \frac{3}{2\cdot 2^{x} - 1}. Сделаем замену 2^x = t : \frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}. Заметим, что: 4t^3 - 18t^2 + 13t - 13 = 2t \cdot (2t^2 - 9t + 4) + 5t - 13; 2t^2 - 9t + 4 = (2t - 1)(t - 4). Значит, \frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} = \frac{ 2t \cdot (2t^2 - 9t + 4) + 5t - 13}{2t^2 - 9t + 4} = 2t + \frac{5t - 13}{(2t - 1)(t - 4)}. Таким образом, неравенство принимает следующий вид: 2t + \frac{5t - 13}{(2t - 1)(t - 4)} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}; \frac{5t - 13}{(2t - 1)(t - 4)} \leqslant - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}; \frac{5t - 13}{(2t - 1)(t - 4)} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \leqslant 0. Приводим к общему знаменателю: \frac{(5t - 13)(t - 2) + (2t - 1)(t - 4) - 3(t - 4)(t - 2)}{(2t - 1)(t - 4)(t - 2)} \leqslant 0; \frac{2(2t - 1)(t - 3)}{(2t - 1)(t - 4)(t - 2)} \leqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 1

Получаем: t \in \left(-\infty; \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; 2\right) \cup [3; 4). Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью показательной функции: \left[ Итого получаем: x \in (-\infty; -1) \cup (-1;1)\cup \left[\log_23 ; 2\right). Ответ: (-\infty; -1) \cup (-1;1)\cup \left[\log_23 ; 2\right) .

Ответ: (−∞; −1)∪ (− 1;1)∪ [log23;2)