Решите неравенство $\frac{2^{3x}-2\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+2}-16}{x-1}\ge 0.$

Пример решения № 1

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

23x− 2⋅4x+1+ 5⋅2x+2− 16 = x3 x 2 x = (2 ) − 8 ⋅(2 ) + 20⋅2 − 16.

Пусть t= 2x. Тогда получим

x 3 x2 x (2 ) − 8⋅(2) + 20⋅2 − 16= =t3− 8⋅t2+ 20⋅t− 16.

Убедимся в том, что t= 2 является корнем этого кубического многочлена:

23− 8 ⋅22+ 20⋅2 − 16 = = 8− 32+ 40− 16= 0.

Поделим многочлен t3− 8t2+ 20t− 16 столбиком на t− 2:

3 2 | t3− 8t2 + 20t − 16 t−2-2---- t-−-2t------ t − 6t+8 − 6t2 + 20t − 6t2 + 12t --------8t-− 16 8t − 16 ---------- 0

Таким образом,

3 2 t − 8t+(220t− 16=) = (t− 2) t − 6t+ 8 = =(t− 2)2(t− 4).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

(2x-− 2)2(2x−-4) x− 1 ≥ 0 (x 1)2( x 2) -2-−-2---2-−-2--≥ 0 x− 1

По методу рационализации:

2 ((2-− 1)(x−-1))-((2-−-1)(x−-2))-≥ 0 x− 1 1⋅(x−-1)2⋅1⋅(x-−-2)- x− 1 ≥ 0 2 (x-− 1)-(x−-2)≥ 0 x− 1

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x12+−+

Получаем ответ:

x ∈(−∞; 1)∪[2;+∞ ).

Ответ: (−∞; 1)∪[2;+∞ )