Задание 42 из 63Показательные неравенства
Линия №16 · Повышенный уровеньРешите неравенство .
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 991632
ОбъяснениеКак решать это задание
Ключевая идея и подход к задаче
Определите область допустимых значений, выполните равносильные преобразования и отметьте критические точки на числовой прямой. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек.
Ключевая идея: Сначала зафиксировать ОДЗ и знаки оснований логарифмов, затем свести выражение к произведению или дроби и применить метод интервалов без потери граничных точек..
Пошаговый разборПонятное решение
Подробные вычисления, пояснения и ответ
Текстовая версия решения
Пример решения № 1
Пусть t= 3x > 0. Тогда неравенство примет следующий вид:
-243-- t+ t− 36 ≥ 0
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
t(t−-36)+ -243-≥ 0 t− 36 t− 36 t(t−-36)+-243- t− 36 ≥ 0 2 t-−-36t+243 ≥ 0 t− 36
Найдём корни уравнения t2− 36t+ 243= 0:
D = (−36)2 − 4 ⋅243 = 22 ⋅92(22− 3)= 182 t1 = 36+-18 = 27, t2 = 36−-18= 9 2 2
Из этого получаем:
(t−-27)(t− 9) ≥ 0 t− 36
Решим полученное неравенство методом интервалов:
t923−+−+76
Тогда решением неравенства будет совокупность:
[ 9≤ t≤ 27 t> 36 [ 2 x 3 3x≤ 3lo≤g 336 [3 > 3 3 2≤ x≤ 3 x> log 36 3
Таким образом, получим x∈ [2;3]∪(log336;+∞ ).
Ответ: [2;3]∪ (log336;+ ∞)
ТеорияЧто нужно знать
Правила и свойства для этого типа задач
- Область допустимых значений логарифмических и дробно-рациональных выражений
- Равносильные преобразования показательных и логарифмических неравенств
- Метод интервалов и правила включения граничных точек
СамопроверкаТипичные ошибки
На что обратить внимание перед ответом
- Не учесть ограничения на аргумент или основание логарифма
- Умножить неравенство на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи
- Включить в ответ ноль знаменателя или потерять допустимую точку равенства
АлгоритмКак проверить себя
Короткий контрольный список перед ответом
- 1Все условия ОДЗ записаны до преобразований?
- 2Критические точки проверены в исходном неравенстве?
- 3Интервалы и отдельные точки ответа объединены без запрещённых значений?
ТренировкаПохожие задания
Ещё задачи линии №16
Показательные неравенстваРешите неравенство ≤FIPI ID 160E7EПоказательные неравенстваРешите неравенство (11)−6−≤…FIPI ID 259766Показательные неравенстваРешите неравенство ((8)^(x+)−9⋅(4)^(x+)+13⋅(2)−13)/((4)^(x+)−9⋅(2)^…FIPI ID 3416BFПоказательные неравенстваРешите неравенство ≥FIPI ID 483E44Показательные неравенстваРешите неравенство ≤0.FIPI ID 4F4FA2Показательные неравенстваРешите неравенство ≥0.FIPI ID 62020B