Решите неравенство ${\log }_2^2(25-x^2)-7{\log }_2(25-x^2)+12\ge 0$.

Пример решения № 1

Сделаем замену: log2(25− x2) =t. Тогда неравенство примет вид:

2 t − 7t+12 ≥0

Корнями уравнения t2 − 7t+ 12= 0 являются числа 3 и 4. Следовательно, неравенство равносильно

[t≤ 3 (t− 3)(t− 4)≥ 0 ⇔ t≥ 4

Сделаем обратную замену.

1) Первое неравенство совокупности:

2 log2(25 − x )≤ 3 log2(25− x2) ≤log28 2 0< 25− x ≤8

Решением неравенства 25− x2 > 0 является

x∈ (−5;5)

Решением неравенства 25− x2 ≤ 8 является

( ] [ ) x∈ −∞; −√17- ∪ √17;+ ∞

Пересечём эти решения и получим:

( √--] [√ -- ) x ∈ −5;− 17 ∪ 17;5

2) Второе неравенство совокупности:

log2(25 − x2)≥ 4 2 log2(25− x )≥ log216 25− x2 ≥ 16 2 x ≤ 9 x ∈[−3;3]

Объединим решения первого и второго неравенств и получим:

( √ --] [√ -- ) x∈ −5;− 17 ∪[−3;3]∪ 17;5 .

Пример решения № 2

Найдём область допустимых значений: 25 - x^2 > 0\;\Leftrightarrow\; x \in (-5; 5). Сделаем замену \log_2(25 - x^2) = t : t^2 - 7t + 12 \geqslant 0; (t - 3)(t - 4) \geqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 2

t \in (-\infty; 3]\cup [4; +\infty). Сделаем обратную замену. Получаем следующую совокупность: \left[ Решим первое неравенство. Так как основание 2 > 1 , то получаем: 25 - x^2 \leqslant 8; -x^2 \leqslant -17; x^2 \geqslant 17; x \in \left(-\infty; -\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17}; +\infty\right). С учётом ОДЗ получаем: x \in \left(-5; -\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17}; 5\right) . Изображение 1

Решим второе неравенство: 25 - x^2 \geqslant 16; -x^2 \geqslant -9; x^2 \leqslant 9. Получаем: x \in [-3; 3] .

Объединяем полученные решения: x \in \left(-5; -\sqrt{17}\right] \cup [-3; 3] \cup \left[\sqrt{17}; 5\right). Ответ: \left(-5; -\sqrt{17}\right] \cup [-3; 3] \cup \left[\sqrt{17}; 5\right) .

Ответ: (− 5;− √17]∪ [− 3;3]∪ [√17;5)