Решите неравенство ${\log }_{49}(x+4)+{\log }_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7}\le -\frac{3}{4}.$

Пример решения № 1

Запишем ОДЗ:

(| x+ 4> 0 { 2 |( x2+ 8x + 16 > 0 ( x + 8x + 16 ⁄= 1 |{ x> −4 x⁄= −4 |( x⁄= −5;x⁄= − 3

Получаем:

x∈ (− 4;− 3)∪(−3;+∞ )

Заметим, что

x2+ 8x+ 16= (x+ 4)2 2 4√9 =7 1 7 =7 2

Отметим, что в силу ОДЗ:

log 2 712 = 1log 2 7= (x+8x+16) 2 (x+4) = 1 log 7= 1 log 7 4 |x+4| 4 (x+4)

Тогда преобразуем неравенство на ОДЗ, пользуясь свойствами логарифмов:

1 1 3 2 log7(x+ 4)+ 4 log(x+4)7 + 4 ≤ 0 1log7(x+ 4)+ -----1----+ 3 ≤ 0 2 4log7(x+ 4) 4

Сделаем замену:

t =log(x +4) 7

Получим:

1t+ 1-+ 3 ≤ 0 2 4t 4 2t2+-1+-3t- 4t ≤ 0 1 (t+-1)(t+-2)≤ 0 t

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t−−0−+−+1 1 2

Обратная замена:

⌊ log7(x+ 4)≤ −1 |⌈ 1 − 2 ≤ log7(x+ 4)< 0 ⌊ 1 ||x +4 ≤ 7 ⌈ 1-- √7 ≤x + 4< 1 ⌊ 27 ||x ≤ − 7 ⌈− 4+ √1-≤ x< − 3 7

С учётом ОДЗ, получаем ответ:

( ] [ ) x∈ − 4;− 27 ∪ −4+ √1-;−3 7 7

Пример решения № 2

Найдём ОДЗ: \begin{cases} \Leftrightarrow\; x \in (-4; -3)\cup (-3; +\infty). Преобразуем логарифмы к основанию 7: \log_{49}(x + 4) = \log_{7^2}(x + 4) = \frac{1}{2}\log_7(x + 4); \log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} = \log_{(x+4)^2} 7^{1/2} = \frac{\dfrac{1}{2}\log_7 7}{\log_7 (x+4)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7|x+4|}. Так как x > -4 , то \dfrac{1}{4\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7(x+4)}. Таким образом, неравенство принимает следующий вид: \frac{1}{2}\log_7(x + 4) + \frac{1}{4\log_7(x+4)} \leqslant-\frac{3}{4}. Сделаем замену \log_7(x+4) = t : \frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} \leqslant -\frac{3}{4}; \frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} + \frac{3}{4} \leqslant 0; \frac{2t^2 + 1 + 3t}{4t} \leqslant 0; \frac{2t^2 + 3t + 1}{4t} \leqslant 0; \frac{(t+1)(2t+1)}{4t} \leqslant 0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов: Изображение 1

Получаем: t \in (-\infty; -1] \cup \left[-\frac{1}{2}; 0\right). Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма: \left[ \;\Rightarrow\; С учётом ОДЗ получаем: \left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right) . Изображение 2

Ответ: \left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right) .

Ответ: ( ] [ ) −4;− 27 ∪ −4 + 1√-;−3 7 7