Решите неравенство $12^x-8^x-2\cdot 6^{x+1}+3\cdot 4^{x+1}+32\cdot 3^x-2^{x+5}\le 0$.

Пример решения № 1

Воспользуемся свойствами степени и преобразуем исходное выражение:

12x− 8x − 2⋅6x+1 +3 ⋅4x+1+ 32⋅3x− 2x+5 = 2x x 3x x x 2x x x 2 ⋅3 − 2 − 12 ⋅2 ⋅3 + 12 ⋅2 +32⋅3 − 32⋅2

Пусть x x a = 2, b = 3 :

a2⋅b− a3− 12ab+12a2+ 32b− 32a= = a2(b− a)− 12a(b− a)+ 32(b− a)= = (b− a)(a2 − 12a+ 32)

Решим уравнение a2− 12a + 32 = 0:

a2− 12a+ 32= 0 2 D = 12⌊− 4⋅32= 144− 128 = 16 a= 12+-4 =8 |⌈ 122− 4 a= --2-- =4

В полученном неравенстве (a− 4)(a− 8)(b − a)≤ 0 сделаем обратную замену:

(2x− 4)(2x− 8)(3x− 2x) ≤0|:2x >0 (( )x ( )0) (2x− 22)(2x− 23) 3 − 3 ≤ 0 2 2

Воспользуемся методом рационализации:

(( ) ( ) ) (2x− 22)(2x− 23) 3 x− 3 0 ≤ 0 2 2 ( ) (2− 1)(x − 2)⋅(2− 1)(x − 3)⋅ 3− 1 (x − 0)≤ 0 2 x(x − 2)(x− 3)≤ 0

По методу интервалов:

x−+−+023

Итоговое решение:

x∈ (− ∞;0]∪ [2;3].

Ответ: (− ∞;0]∪[2;3]